Skip to content Skip to navigation

GeoGebra ile Katı Cisimler

Yrd. Doç. Dr. Melike Yiğit Koyunkaya - Özge Çoban
12/07/2016 - 14:14

Matematiğin zevkine varan insanlar için matematik, içinde bulunduğu çevreyi anlamak ve kavramak için daima bir kaynak olmuştur. Bilim ve teknolojinin son yıllardaki olağanüstü gelişimiyle beraber hayatımıza giren bilgisayar ve benzeri teknoloji ürünleri, öğrenme materyallerinin görselleşmesini ve böylece öğrenimin kolaylaşmasını, zevkli hale gelmesini, hızlanmasını ve daha kalıcı olmasını sağlamaya başladı.

Öklid geometrisinde bir nesnenin sadece uzunluğu varsa bir boyutlu; uzunluğu ve derinliği varsa iki boyutlu; uzunluğu, derinliği ve yüksekliği varsa üç boyutludur.

Katı cisimleri en genel haliyle belli bir hacme sahip olan şekiller olarak tanımlayabiliriz. Bir şeklin hacminin olması için en, boy ve derinlik bileşenlerinin hepsinin birden var olması yani üç boyutlu olması gerekir. Peki, nelerdir bu katı cisimler? Dikdörtgenler prizması ve küp üç boyutlu geometrik cisimlerin örneklerindendir. Günlük hayatta karşımıza çıkan top, soba borusu, konserve kutuları ve benzeri fiziksel nesneler de üç boyutludur.

Tabanları herhangi bir çokgensel bölge (eşkenar çokgen) ve yan yüzleri dikdörtgensel bölge olan cisimlere dik prizma denir. Bu prizmalarda, tabanları birleştiren yanal ayrıtlar tabanlara diktir. Tabanları düzgün çokgensel bölge olan dik prizmalara düzgün dik prizmalar denir. Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir: üçgen prizma, kare prizma, dikdörtgenler prizması, altıgen prizma, beşgen prizma...

İki boyutlu çizimlere bakarak üç boyutlu cisimleri kavramak zordur. Mesela küp kavramını ele alalım. Hepimiz kolaylıkla bir kâğıdın üzerine küp çizebiliriz (Şekil 1). Peki, iki boyutlu çizimdeki uzunluğu, derinliği ve yüksekliği kavrayarak şeklin üç boyutlu olduğunu anlamak kolay mıdır?

Şimdi küpün açılmış hali olarak aşina olduğumuz altı kareli şekli ele alalım. (Şekil 2). Bu şekle nasıl bir işlem uygulamalıyız ki uzunluğu ve derinliği olan bu iki boyutlu şekli yükseklik de ekleyip üç boyutlu hale getirebilelim? Şekil 2’deki çizimi bir kâğıdın üzerine yaptıktan sonra kâğıdı kesip katlayarak bir küp elde edebiliriz. Fakat bu küpün kenar uzunluklarını değiştirmek veya dörtgen, beşgen, altıgen prizma çizmek istersek ne yapmalıyız?

Tam da bu noktada katı cisimlerin yani piramit, prizma gibi bir hacme sahip geometrik şekillerin daha kolay anlaşılabilmesi için dinamik matematik yazılımları kullanılabilir. Bu yazılımların kullanılmasındaki amaç, kenar uzunlukları ve hatta kenar sayısı değiştiğinde üç boyutlu cisimlerde meydana gelecek değişiklikleri gözlemlemek ve belirlemektir.

GeoGebra programını kullanarak katı cisimleri çizmek çok kolaydır. Programdaki araç kutucuklarında verilen komutlar sayesinde katı cisimleri nasıl çizeceğimizi kolayca anlayabiliriz. Örneğin piramit çizmek istediğimizde piramit araç çubuğuna gelerek bu katı cismi hangi komutlarla (Taban için bir çokgen seçin veya oluşturun, sonra bir tepe noktası seçin veya oluşturun) çizeceğimizi belirleyebiliriz (Şekil 3).

GeoGebra yazılımını kullanarak farklı katı cisimler çizebiliriz (Şekil 4). Bu katı cisimlerin hepsini ayrı ayrı çizebileceğimiz gibi GeoGebra programının en büyük faydalarından biri olan sürgü yardımıyla da çizebiliriz. Sürgü, bize katı cismin öncelikle tabanına ait kenar sayısını bulmamızda yardımcı olabilir. Bu sayede tabandaki kenar sayısını değiştirerek dörtgen, beşgen, altıgen prizma çizebiliriz. Başka bir sürgüyle de katı cismin yüksekliğini ayarlayabiliriz. Kenar sayısında olduğu gibi, herhangi bir katı cismin yüksekliğini de değiştirebiliriz. Bu şekilde sadece bir kenarı ve yüksekliği belli olan sabit bir katı cisim elde etmek yerine, tabanındaki kenar sayısını ve yüksekliğini değiştirebileceğimiz katı cisimler elde edebiliriz. Böylece katı cisim deyince akla sadece Şekil 2’de verilen küpün değil, başka nesnelerinde gelebileceği algısını güçlendirebiliriz.

GeoGebra programının etkili özelliklerinden biri olan, katı cisimlerin açık ve kapalı hallerini veren ve nasıl açılıp kapandıklarını gösteren animasyon ile katı cisimlerin açık ve kapalı hallerinin nasıl eşleştiğini gösterebiliriz. Mesela Şekil 1’de verilen küpün açık hali Şekil 2 iken bir beşgen prizmanın açık hali nasıldır? GeoGebra programı ile bunu kolaylıkla gösterebiliriz (Şekil 5). Aynısını sadece beşgen prizma için değil tabandaki kenar sayısını değiştirerek herhangi bir prizma, örneğin ongen prizma, için de yapabiliriz (Şekil 6).

https://www.geogebra.org/m/fx68RtSS?doneurl=%2Fozgecoban

https://www.geogebra.org/m/pGPwMeGv?doneurl=%2Fozgecoban

https://www.geogebra.org/m/Pcr7s4Zv?doneurl=%2Fozgecoban

Görüldüğü gibi anlaşılması çok zor görünen üç boyut ve katı cisim kavramlarının öğretiminde GeoGebra programını kullanmak faydalı olabilir. Özellikle iki boyutlu bir nesnenin üç boyutlu bir nesneye nasıl dönüştüğünü görmek için dinamik matematik yazılımlarının kullanılmasının faydalı olabileceği düşünülüyor. Tabana ait kenar sayısının ve yüksekliğin değişimi ile katı cismin açık ve kapalı hallerinin görselleştirilmesini sağlayan sürgülerden oluşan GeoGebra etkinliğinin nasıl inşa edilebileceğini buradan öğrenebilirsiniz. Piramit ve koninin inşasını, siz sevgili okuyucularımıza bırakıyoruz.

İlgili İçerikler

Matematik

Sayılar kuramı ile ilgili en önemli uluslararası organizasyonlarından biri olan Aritmetik Günleri (Journées Arithmétiques) bu yıl 1-5 Temmuz arasında İstanbul Üniversitesinin ev sahipliğinde düzenleniyor. İki yılda bir düzenlenen etkinliğe her seferinde bir Avrupa ülkesi ev sahipliği yapıyor.

Matematik

Keloğlan ağırlıkları 1, 2, 3, .... , 100 gram olan yüz altın sikkeyi sırayla mağaradaki bir deliğe atıyor. Keloğlan bu işlemi, ilk atılan sikke dışındaki her sikke kendisinden bir önce atılmış...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Haziran 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

1! ∙ 2! ∙ 3! ... 999! ∙ 1000! sayısı, k = 1, 2, … , 1000 olmak üzere, k! sayılarının çarpımlarıyla elde edilmiştir. Bu 1000 çarpandan gerekirse en az kaçını silerek kalan çarpımın bir tam kare olmasını sağlayabiliriz?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mayıs 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Matematik alanının Nobel Ödülü olarak kabul edilen Abel Ödülü’nün 2019 yılındaki sahibi ABD Texas Üniversitesi onursal profesörü Karen Keskulla Uhlenbeck oldu.

Matematik

Ağırlıkları birbirine eşit olan 150 bilye birkaç torbaya dağıtılıyor ve bundan sonra her torbanın üzerine bu torbadan daha hafif olan torbaların sayısı yazılıyor. Torbaların üzerine yazılmış sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Nisan 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Keloğlan ve birkaç cüce bir oyun oynuyorlar. İlk önce her cüce tahtaya 1, 2, ... , 2019 sayılarından birini seçip yazıyor (aynı sayı bir defadan fazla yazılamaz). Bundan sonra Keloğlan tahtadaki sayılardan istediklerini silip...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mart 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.