logo
Menü
Giriş yap Üye ol
  • Anasayfa Anasayfa
Popüler Bilim

Popüler Bilim

Soru - Cevap

Soru - Cevap

Tasarla ve Yap

Tasarla ve Yap

Deneyler

Deneyler

Bilim Genç TV

Bilim Genç TV

Gökbilim

Gökbilim

Yeryüzü

Yeryüzü

Sesli Yayın

Sesli Yayın

Bilim Çizgi

Bilim Çizgi

Periyodik Tablo

Periyodik Tablo

Yeryüzü

Bunu Biliyor muydunuz?

Yarışmalar

Yarışmalar

  • Popüler Bilim Bilim Genç' i Tanıyın
    • - Bilim Genç Hakkında
    • - Ekibimiz
    • - İçerik Kullanım Şartları
    • - İletişim
  • Bilim Genç TÜBİTAK’ın dijital ortamda ücretsiz popüler bilim yayınıdır.

logo
Arama
Giriş yap
  • Popüler Bilim Popüler Bilim
  • Soru - Cevap Soru - Cevap
  • Tasarla ve Yap Tasarla ve Yap
  • Deneyler Deneyler
  • Bilim Genç TV Bilim Genç TV
  • Yarışmalar Yarışmalar
  • Gökbilim Gökbilim
  • Yeryüzü Yeryüzü
  • Sesli Yayın Sesli Yayın
  • Bilim Çizgi Bilim Çizgi
  • Bunu Biliyor muydunuz? Bunu Biliyor muydunuz?
  • Periyodik Tablo Periyodik Tablo
  • Popüler Bilim Bilim Genç' i Tanıyın
    • - Bilim Genç Hakkında
    • - Ekibimiz
    • - İçerik Kullanım Şartları
    • - İletişim
  • Bilim Genç TÜBİTAK’ın dijital ortamda ücretsiz popüler bilim yayınıdır.

Soğan Doğrarken Gözler Neden Yanar, Nasıl Önlenir?

Ay’a Gitmek Neden Önemli?

Ayın Şifrebilim Sorusu – Haziran 2025

Ayın Şifrebilim Sorusunun Cevabı – Mayıs 2025

Satranç Haziran 2025

Alerjik Rinit ve Bahar Alerjisi Belirtileri, Tedavi Yolları

Ayın Matematik Sorusu - Haziran 2025


Kaç Tane Asal Sayı Vardır?

Dr. Elif Ebren Kaya
19/10/2021

Kendisinden ve 1’den başka böleni bulunmayan asal sayıların sonsuz olduğunu duymuşsunuzdur. Peki sonsuz tane asal sayı olduğunu nasıl biliyoruz?

Kaç Tane Asal Sayı Vardır?

Tüm asal sayıları tek tek sayamayacağımıza göre sonsuz tane asal sayı olduğunu göstermenin tek yolu onu ispat edebilmektir. Bu yazımızda asal sayıların sonsuz olduğunun ispatını birlikte yapacağız. 

1’den büyük her doğal sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı şeklinde yazılabileceğini biliyoruz. Bu ifade aslında “aritmetiğin temel teoremi” olarak bilinir. İspatımızda bu teoremi kullanacağız. 

Önerme: Sonsuz tane asal sayı vardır.

İspat: Asalların sayıca sonlu olduğunu kabul edelim ve bu asal sayıları P1, P2, P3, … , Ps , … , Pr ile gösterelim. En büyük asal sayımız Pr, asal sayılarımız arasındaki ilişkiyse P1 < P2 < P 3 < … < Ps < … < Pr  şeklinde olsun. Örneğin P1=2, P2=3, P3=5, …

Tüm asalların çarpımı ile oluşturduğumuz sayıya N sayısı diyelim: N = P1·P2·P3· … ·Ps· … ·Pr.

N sayısından 1 eksilterek oluşturduğumuz (N-1) sayısı, aritmetiğin temel teoremi gereği, bir veya daha fazla asal sayının çarpımına eşittir. Bu durumda (N-1) sayısı, sonlu tane olan asal sayılarımızdan (P1, P2, P3, … , Ps, … , Pr) en az biri ile tam bölünür. Farz edelim ki Ps asal sayısı (N-1)’i tam böler.

N sayısı tüm asal sayıların çarpımından oluştuğu için Ps asal sayısı, N sayısını da kalansız olarak böler. Çünkü Ps asal sayısı, N sayısının çarpanlarından biridir.

Ps asal sayısı hem N sayısını hem de (N-1) sayısını böldüğü için (N-(N-1)) sayısını da böler. (Bu önermenin doğruluğundan şüphe ediyorsanız yazının sonundaki ispatı inceleyebilirsiniz.) Fakat (N-(N-1)) sayısı aslında 1’e eşittir ve Ps asal sayısının 1’i bölebileceği sonucu yanlıştır. Çünkü 1 sayısının kendisinden başka böleni yoktur.

O hâlde ispatta bir şeyler yanlış gitmiştir. Fakat ispatın ilk cümlesindeki “asalların sayıca sonlu olduğu” varsayımından sonraki tüm satırlar mantıksal olarak doğrudur. Bu nedenle aslında ilk cümle doğru değildir. Sonuç olarak, asal sayıların sonlu olduğunu kabul etmek yanlıştır, asal sayılar sonsuzdur.

İspatımıza sonsuz tane asal sayı bulunduğunu göstermek için bu önermenin yanlış olduğunu kabul ederek başladık ve bu fikrin bir çelişkiye yol açtığını gösterdik. Burada kullandığımız ispat yöntemi matematikte ‘’olmayana ergi yöntemiyle ispat’’ veya ‘’çelişki ile ispat’’ olarak isimlendirilir.

Asal sayılar, sayı teorisinde ve şifrelemede de önemli bir yer tutuyor. Bu konuda ayrıntılı bilgiye ise daha önceki yazımızdan ulaşabilirsiniz.

Önerme: a, b, c ∈ ℤ+ (b>c) olmak üzere, eğer a sayısı hem b sayısını hem de c sayısını bölüyorsa (b-c) sayısını da böler.

İspat: a sayısı hem b hem de c sayılarını böldüğü için b=a·g ve c=a·h olacak şekilde g, h pozitif tam sayıları bulunur. Yani g, h ∈ ℤ+.  (b-c) sayısı yerine yukarıda b ve c için elde ettiğimiz eşitlikleri kullanırsak, (b-c)=a·g-a·h=a·(g-h) şeklinde yazabiliriz. Sonuç olarak, a sayısı (b-c) sayısının bir çarpanıdır yani a sayısı (b-c) sayısını böler.

Kaynak:

  • https://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/kummers.html  

 

Konu
Sayılar

paylaş

En Çok Okunan Makaleler

Chandra, Yeni Tip Kozmik Nesneden Gelen Düzenli Sinyaller Tespit Etti

Haberler • 30-05-2025

Lise Öğrencileri İçin 2025 Yılı TÜBİTAK Bilim Kamplarına Katılım Başvuruları Başladı!

Duyurular • 02-01-2025

Bilim Genç’e İçerik Hazırlamak İster misiniz?

Duyurular • 12-05-2025

Pestisit Nedir? Pestisitler Zararlı mıdır?

Haberler • 30-04-2025

Kozmik Gezegen Otopsisi: Yıldızına Yaklaşarak Atmosferine Dalan Gezegen

Gökbilim • 29-04-2025

Bilim Genç Kafede Bilim Etkinliği: “Antarktika Hikâyeleri”

Duyurular • 24-04-2025

Gökyüzünde Gezegen Şöleni

Haberler • 25-01-2025

Keçilerin Göz Bebekleri Neden Dikdörtgen Şeklindedir?

Soru - Cevap • 15-02-2025

Astronot Suni Williams Uzay Yürüyüşünde Rekor Kırdı

Haberler • 31-01-2025

Meşhur Matematik Problemi: ‘‘Taşınan Kanepe Problemi’’ Çözüldü

Haberler • 30-01-2025

Bilim Genç Logo
Tekrardan Hoşgeldiniz!

Bilim Genç’in kozmik derinliklerinde yolculuğa başlamak için giriş yapın.

Bir hesabınız yok mu? Üye olun

Sayfayı Paylaş
Twitter'da paylaş telegram'da paylaş Whatsapp'da paylaş facebook'da paylaş
Bağlantıyı kopyala
baylaş