Skip to content Skip to navigation

Yüzey Döşemeleri

Dr. Mahir E. Ocak
25/09/2018 - 10:34

Özdeş geometrik şekiller kullanarak yüzeyleri döşemek, çok eski zamanlardan beri insanların zihnini meşgul eden matematik problemlerinden biri. Bu amaçla kullanılabilecek çeşitli şekiller biliniyor. 1918 yılında Karl Reinhardt yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek tüm geometrik şekillerin bulunması ve listelenmesi konusunda bir çalışma başlattı. Aradan geçen zamanda amatörler de dâhil olmak üzere pek çok matematikçi bu konu üzerinde çalıştı. En son 2015 yılında 30 yıl aradan sonra yeni bir beşgen keşfedildi. Ancak listenin tamamlanıp tamamlanmadığı, başka bir deyişle hâlâ yeni geometrik şekiller keşfetmenin mümkün olup olmadığı bilinmiyordu. Michaël Rao, arXiv’e yüklediği bir makalede mümkün olan tüm geometrik şekillerin keşfedildiğini gösterdi.

 

Üçgen Yüzey Döşemeleri

Herhangi bir üçgenle yüzey döşemek mümkündür (bkz. aşağıdaki şekiller).

Wikipedia

 

Dörtgen Yüzey Döşemeleri

Üçgenlerde olduğu gibi herhangi bir dörtgenle de yüzeyleri döşemek mümkündür (bkz. aşağıdaki şekiller).

http://www.tonibest.com/cdn/6/2002/430/

 

Altıgen Yüzey Döşemeleri

Üçgenlerin ve dörtgenlerin aksine herhangi bir altıgenle bir yüzeyi döşemek mümkün değildir. Bir yüzeyi hiç boşluk bırakmaksızın kaplayabilecek üç tür altıgen olduğu biliniyor.

b=e, B+C+D=360°

 

b=e, d=f, B+C+E=360°

 

a=f, b=c, d=e, B=D=F=120°

Düzgün altıgen yukarıdaki türün tüm kenarları birbirine eşit olan özel bir durumudur.

 

Yedigen ve Daha Büyük Çokgenler

Yedigenlerle ve daha büyük çokgenlerle bir yüzeyi döşemek mümkün değildir.

 

Beşgenler

Yüzey döşemeleri konusunda matematikçilerin zihnini en çok meşgul eden çokgenlerin beşgenler olduğu söylenebilir. Düzgün beşgenlerle (tüm kenarları aynı uzunlukta beşgenlerle) hiç boşluk bırakmaksızın bir yüzeyi kaplamak imkânsızdır. Ancak düzgün olmayan beşgenlerle mümkündür. 1918-2015 arasında 15 ayrı tür beşgenin bu amaçla kullanılabileceği bulunmuştu. Ancak gelecekte başka tür beşgenlerin de keşfedilmesinin mümkün olup olmadığı bilinmiyordu.

Michaël Rao ilk olarak bir yazılım yardımıyla tüm olasılıkları taramış ve 371 tür beşgenin yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek potansiyele sahip olduğunu görmüş. Daha sonra bu beşgen türlerinin tamamını tek tek test etmiş ve sadece 19’unun gerekli tüm koşulları sağladığını belirlemiş. Bu 19 türün 15’i daha önceden de bilinenler. Geriye kalan 4 türse sadece diğer 15 türün özel durumları (bkz. aşağıdaki şekil). Dolayısıyla Rao’nun çalışmaları bugün yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek tüm beşgen türlerinin ve dolayısıyla tüm çokgen türlerinin zaten bilindiğini ve gelecekte yeni türlerin keşfedilemeyeceğini gösteriyor. Böylece yüz yıldır matematikçilerin zihnini meşgul eden bir soru da cevaplanmış oluyor.

 

 

 

İlgili İçerikler

Matematik

Keloğlan ve birkaç cüce bir oyun oynuyorlar. İlk önce her cüce tahtaya 1, 2, ... , 2019 sayılarından birini seçip yazıyor (aynı sayı bir defadan fazla yazılamaz). Bundan sonra Keloğlan tahtadaki sayılardan istediklerini silip...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mart 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Matematikçileri bir araya getiren Pi Günü’nü Bilim Genç dergisi bu sene yeniden simit ve üçgen peynir ile kutlayacak. Prof. Dr. Azer Kerimov ve Prof. Dr. Abdurrahman Muhammed Uludağ’ın katılacağı Bilim Üsküdar’daki etkinliğe tüm matematik severler katılabilir.

Matematik

Olasılık, geometri ve fizik gibi alanlardaki hesaplama ve formüllerde karşımıza çıkan pi sayısını çevremizde de bulabiliriz. Pi Günü’nü barındıran mart ayında objektiflerinizi çevrenizdeki dairesel şekillere odaklamanızı istiyoruz. Fotoğraflarınızı Bilim Genç’te paylaşırken açıklama bölümüne #ÇevremizdekiPi etiketini eklemeyi unutmayın.

Matematik

1, 2, ..., n sayıları, grupların hiçbirinde toplamları bir tam kareye eşit olan iki farklı sayı bulunmayacak şekilde iki gruba ayrılabiliyor. Buna göre, n’nin alabileceği en büyük değer nedir?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Şubat 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Bir böcek ilk hamlesinde 2×100’lük satranç tahtasının bir birim karesine atlıyor. Bundan sonraki her hamlesinde bulunduğu birim kareyle ortak kenar paylaşan başka bir birim kareye atlıyor...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Ocak 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Aralık 2018 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

4×4’lük satranç tahtasının her birim karesine birer gerçel sayı yazılmıştır. Ortak kenar paylaşan birim karelere yazılmış sayılar komşu sayılardır. Her sayının komşu sayılarının toplamı 6’ya eşit olan bir satranç tahtasındaki sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?