Skip to content Skip to navigation

Yüzey Döşemeleri

Dr. Mahir E. Ocak
25/09/2018 - 10:34

Özdeş geometrik şekiller kullanarak yüzeyleri döşemek, çok eski zamanlardan beri insanların zihnini meşgul eden matematik problemlerinden biri. Bu amaçla kullanılabilecek çeşitli şekiller biliniyor. 1918 yılında Karl Reinhardt yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek tüm geometrik şekillerin bulunması ve listelenmesi konusunda bir çalışma başlattı. Aradan geçen zamanda amatörler de dâhil olmak üzere pek çok matematikçi bu konu üzerinde çalıştı. En son 2015 yılında 30 yıl aradan sonra yeni bir beşgen keşfedildi. Ancak listenin tamamlanıp tamamlanmadığı, başka bir deyişle hâlâ yeni geometrik şekiller keşfetmenin mümkün olup olmadığı bilinmiyordu. Michaël Rao, arXiv’e yüklediği bir makalede mümkün olan tüm geometrik şekillerin keşfedildiğini gösterdi.

 

Üçgen Yüzey Döşemeleri

Herhangi bir üçgenle yüzey döşemek mümkündür (bkz. aşağıdaki şekiller).

Wikipedia

 

Dörtgen Yüzey Döşemeleri

Üçgenlerde olduğu gibi herhangi bir dörtgenle de yüzeyleri döşemek mümkündür (bkz. aşağıdaki şekiller).

http://www.tonibest.com/cdn/6/2002/430/

 

Altıgen Yüzey Döşemeleri

Üçgenlerin ve dörtgenlerin aksine herhangi bir altıgenle bir yüzeyi döşemek mümkün değildir. Bir yüzeyi hiç boşluk bırakmaksızın kaplayabilecek üç tür altıgen olduğu biliniyor.

b=e, B+C+D=360°

 

b=e, d=f, B+C+E=360°

 

a=f, b=c, d=e, B=D=F=120°

Düzgün altıgen yukarıdaki türün tüm kenarları birbirine eşit olan özel bir durumudur.

 

Yedigen ve Daha Büyük Çokgenler

Yedigenlerle ve daha büyük çokgenlerle bir yüzeyi döşemek mümkün değildir.

 

Beşgenler

Yüzey döşemeleri konusunda matematikçilerin zihnini en çok meşgul eden çokgenlerin beşgenler olduğu söylenebilir. Düzgün beşgenlerle (tüm kenarları aynı uzunlukta beşgenlerle) hiç boşluk bırakmaksızın bir yüzeyi kaplamak imkânsızdır. Ancak düzgün olmayan beşgenlerle mümkündür. 1918-2015 arasında 15 ayrı tür beşgenin bu amaçla kullanılabileceği bulunmuştu. Ancak gelecekte başka tür beşgenlerin de keşfedilmesinin mümkün olup olmadığı bilinmiyordu.

Michaël Rao ilk olarak bir yazılım yardımıyla tüm olasılıkları taramış ve 371 tür beşgenin yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek potansiyele sahip olduğunu görmüş. Daha sonra bu beşgen türlerinin tamamını tek tek test etmiş ve sadece 19’unun gerekli tüm koşulları sağladığını belirlemiş. Bu 19 türün 15’i daha önceden de bilinenler. Geriye kalan 4 türse sadece diğer 15 türün özel durumları (bkz. aşağıdaki şekil). Dolayısıyla Rao’nun çalışmaları bugün yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek tüm beşgen türlerinin ve dolayısıyla tüm çokgen türlerinin zaten bilindiğini ve gelecekte yeni türlerin keşfedilemeyeceğini gösteriyor. Böylece yüz yıldır matematikçilerin zihnini meşgul eden bir soru da cevaplanmış oluyor.

 

 

 

İlgili İçerikler

Matematik

Ayın Şifrebilim Sorusu köşesinde Mart 2020 sorusunu doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 5 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

Çiftlikteki her cüce tam olarak dört cüceyle arkadaştır ve birbiriyle arkadaş olan herhangi iki cücenin tam olarak bir ortak arkadaşı vardır. Buna göre, çiftlikteki toplam cüce sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mart 2020 sorusunu doğru çözenler belli oldu.

Matematik

Nisan ayının şifrebilim sorusu yayında.

Matematik

Enrico Fermi öğrencilerine ve arkadaşlarına sık sık cevabının kesin olarak belirlenmesi zor olan sorular sorardı. İşte size böyle bir soru...

Matematik

Alışveriş yaparken, yemek pişirirken, otomobil kullanırken, problem çözerken ya da spor yaparken... Günlük hayatımızın birçok anında farkında olmasak da matematikten faydalanırız. Çok eski zamanlardan beri hesap yapmak için kullanılan matematikteki rakamlar farklı medeniyetler tarafından farklı sembollerle ifade edilmişti.

Matematik

TÜBİTAK Bilim Genç Şifrebilim köşesi yayında. Mart ayından itibaren ayın şifrebilim sorusunu doğru çözenler arasından kura ile belirlenecek 5 kişiye TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye ediyoruz.

Matematik

100×100’lük bir satranç tahtasının bazı birim karelerine birer kale yerleştirilmiştir. Aynı satırda veya aynı sütunda bulunan ve aralarında başka kale bulunmayan kaleler...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Şubat 2020 sorusunun çözümünü görmek için tıklayın.

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Ocak 2020 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.