Cetvel ve Pergel Yetersiz Kalırsa: Geometride Farklı Çözüm Yolları
Geometri; şekiller, çizimler ve günlük yaşamdaki uygulamaları nedeniyle matematiğin en eski alanlarından biridir. Ancak geometrik şekiller ne kadar açık görünürse görünsün matematikte onların doğruluğunu göstermek için ispata ihtiyaç vardır. Bu nedenle Öklid’den bu yana ölçü birimi olmayan cetvel ve pergel kullanılarak yapılan çizimler geometride önemli bir yer tutar. Bu çizimlerde sonucu belirleyen, açı ölçüleri ya da uzunluklar değil, şekiller arasındaki matematiksel ilişkilerdir.
Esolla/iStockphoto.com
Antik Yunan’dan beri matematikçiler yalnızca cetvel ve pergel kullanarak çeşitli çizimler yapmış ve bu çizimlerin doğruluğunu ispatlamaya çalışmıştır. Ta ki aralarından biri “Yalnızca cetvel ve pergel kullanarak herhangi bir açıyı üç eşit parçaya ayırmak mümkün müdür?” sorusunu sorana kadar. Burada sözü edilen cetvel, işaretsiz bir cetvel yani üzerinde herhangi bir uzunluk birimi bulunmayan düz kenarlı bir araçtır.
İlk bakışta oldukça kolay gibi görünen bu soru, yüzyıllar boyunca matematikçileri meşgul etmiştir. Pek çok kişi çözüm bulduğunu iddia etse de bu çözümlerin klasik kurallara uymadığı gösterilmiştir. Sonunda 1837 yılında Fransız matematikçi Pierre Wantzel, bu problemin cetvel ve pergel ile çözülemeyeceğini ortaya koymuştur. Bunun nedeni, bir açıyı üçe bölme probleminin cebirsel olarak kübik yani üçüncü dereceden denklemlere karşılık gelmesidir. Bu tür denklemler, cetvel ve pergel ile yapılabilen klasik işlemlerin ötesinde çözümler gerektirir.
Vitalii Barida/iStockphoto.com
Dik açının ölçü birimi olmayan cetvel ve pergel ile üçe bölünebileceğini düşünebilirsiniz. Dik açı hatta doğru açı gibi özel açılar da üç eşit parçaya ayrılabilir. Bu tür durumlarda üçüncü dereceden denkleme ihtiyaç duyulmaz. Ancak herhangi bir açı söz konusu olduğunda aynı yöntemler her zaman geçerli değildir.
Bu probleme bakış açımızı değiştirip yeniden bakalım…
Bir açıyı üçe bölmenin imkânsız olduğu sonucu, ölçüsüz cetvel ve pergel kullanımına dayalı yöntemler için geçerlidir. Farklı araçlar kullanıldığında problemin çözümüne yönelik başka yöntemler de söz konusu olabilir. Origami yani kâğıt katlama sanatı, bu tarihsel problemi farklı bir yaklaşımla ele almamızı sağlar. Geometrinin kendi içinde aksiyomları olduğu gibi origaminin de kendine özgü matematiksel aksiyomları vardır. Aksiyomlar, bir sistemde hangi işlemlerin yapılabileceğini belirleyen temel kurallardır. Origamide Huzita–Hatori aksiyomları olarak bilinen bu kurallar, kâğıdı belirli koşulları sağlayacak biçimde katlamayı tanımlar. Bu aksiyomlardan biri, tek bir katlama işlemiyle iki farklı geometrik koşulun aynı anda sağlanmasına izin verir. İşte bu özellik, klasik cetvel–pergel geometrisinde imkânsız olan bazı işlemleri mümkün kılar. Örneğin bir noktayı bir doğruya, başka bir noktayı da başka bir doğruya eşzamanlı olarak taşıyacak şekilde kâğıdı katladığımızda ortaya çıkan kat izi, açıyı üç eşit parçaya böler. Böylece cetvel ve pergelin yetersiz kaldığı bir problem, farklı bir araç kullanıldığında çözülebilir hâle gelir.
Burada önemli olan nokta şudur: Problem değişmemiş, yalnızca kullanılan aksiyomatik sistem değişmiştir.
Peki bunu origami ile nasıl yaparız?
Bu katlama yöntemi 90 dereceden daha küçük açılar için geçerlidir.
Çizim: Serap Keskin Kıdış
Matematikte bu katlamanın gerçekten de açıyı üç eşit parçaya böldüğünü geometrik olarak göstermek gerekir. Bunun için katlama sonrası oluşan doğrular ve üçgenler arasındaki ilişkiler incelenir. Kâğıt üzerindeki kat izleri belirginleştirilip noktalar adlandırıldığında, elde edilen şekil üzerinden bu durum incelenebilir:
Çizim: Rumeysa Eren
Katlamalar sonucunda paralellik ve ikizkenar üçgen özellikleri ortaya çıkar. Bu yapılardan elde edilen eşlik ve diklik ilişkileri incelendiğinde açının gerçekten üç eşit parçaya ayrıldığı geometrik olarak gösterilebilir.
Çizim: Rumeysa Eren
Sanattan Mühendisliğe
Origami yalnızca estetik bir kâğıt katlama etkinliği değildir. Günümüzde mühendislik ve teknoloji alanında da kullanılan güçlü bir araçtır. Katlanabilir güneş panelleri, uzayda açılabilen antenler ve sürdürülebilir tasarımlar origami prensiplerinden yararlanılarak geliştiriliyor.
Belki de hayallerinizdeki tasarım, elinizdeki bir kâğıdı katlamanızla başlar. Kim bilir, geleceğin yenilikçi ve sürdürülebilir çözümleri belki de şu an birilerinin yaptığı basit origami katlamalarıyla ortaya çıkıyordur. Bu klasik matematik probleminin origamiyle çözümü, sanat ile bilimin nasıl iç içe geçebileceğini de gösteriyor. Bu örnek, matematiğin yalnızca sayılarla değil, kullanılan yöntemler ve yeni bakış açılarıyla da şekillendiğini gözler önüne seriyor.
Ünlü matematikçi G.H. Hardy’nin Bir Matematikçinin Savunması adlı eserinde belirttiği gibi, “Bir matematikçinin desenleri, tıpkı ressamın ya da şairin desenleri gibi güzel olmalıdır; fikirler, renkler ya da sözcükler gibi uyumlu bir biçimde birbirine oturmalıdır. Çirkin matematiğin dünyada kalıcı bir yeri yoktur.”
Kaynaklar:
- Hull, T. (2002). Origami and Geometric Constructions. In Origami: Third International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education.
- Sertöz, A. S. Pierre Wantzel. TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi. (Wantzel’in 1837’de açı üçe bölmenin cetvel ve pergel ile imkânsızlığını kanıtladığına dair bilgi)
- Onaran S.(2022), Origamiyle Matematik. Sarkaç.
- Huzita–Hatori Axioms. Wikipedia. (Origami matematiğinde kullanılan aksiyomların tanımı ve tarihçesi)
Yazar Hakkında:
Rumeysa Eren
Zonguldak Bülent Ecevit Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü Lisans Öğrencisi
