logo
Menü
Giriş yap Üye ol
  • Anasayfa Anasayfa
Popüler Bilim

Popüler Bilim

Soru - Cevap

Soru - Cevap

Tasarla ve Yap

Tasarla ve Yap

Deneyler

Deneyler

Bilim Genç TV

Bilim Genç TV

Gökbilim

Gökbilim

Yeryüzü

Yeryüzü

Sesli Yayın

Sesli Yayın

Bilim Çizgi

Bilim Çizgi

Periyodik Tablo

Periyodik Tablo

Yeryüzü

Bunu Biliyor muydunuz?

Yarışmalar

Yarışmalar

  • Popüler Bilim Bilim Genç' i Tanıyın
    • - Bilim Genç Hakkında
    • - Ekibimiz
    • - İçerik Kullanım Şartları
    • - İletişim
  • Bilim Genç TÜBİTAK’ın dijital ortamda ücretsiz popüler bilim yayınıdır.

logo
Arama
Giriş yap
  • Popüler Bilim Popüler Bilim
  • Soru - Cevap Soru - Cevap
  • Tasarla ve Yap Tasarla ve Yap
  • Deneyler Deneyler
  • Bilim Genç TV Bilim Genç TV
  • Yarışmalar Yarışmalar
  • Gökbilim Gökbilim
  • Yeryüzü Yeryüzü
  • Sesli Yayın Sesli Yayın
  • Bilim Çizgi Bilim Çizgi
  • Bunu Biliyor muydunuz? Bunu Biliyor muydunuz?
  • Periyodik Tablo Periyodik Tablo
  • Popüler Bilim Bilim Genç' i Tanıyın
    • - Bilim Genç Hakkında
    • - Ekibimiz
    • - İçerik Kullanım Şartları
    • - İletişim
  • Bilim Genç TÜBİTAK’ın dijital ortamda ücretsiz popüler bilim yayınıdır.

Amino Asitlerden Cam Üretildi

Instagram Fotoğraf Yarışmamızın Haziran Ayı Teması “Hava Olayları”

Satranç - Haziran 2023

Gökyüzünde Bu Ay: Haziran 2023

Ayın Şifrebilim Sorusu - Haziran 2023

Ayın Şifrebilim Sorusunun Cevabı - Mayıs 2023

Ayın Matematik Sorusu - Haziran 2023

Ayın Matematik Sorusunu Doğru Çözenler – Mayıs 2023

Bal Neden Bozulmaz?


Bir Yüzeyi Desen Tekrar Etmeyecek Şekilde Kaplamaya İmkân Veren Şekil: “Şapka”

Dr. Öğr. Üyesi Yeşim İmamoğlu
24/05/2023

Sokakta yürürken kaldırım taşlarının şekillerine ya da nasıl döşendiklerine pek dikkat etmeyiz. Bu yazıda kimi zaman üzerine basıp geçtiğimiz zeminlerdeki döşemelerin ya da kafamızı çevirip bakmadığımız duvarlardaki fayansların oluşturduğu desenlerden yola çıkarak matematikçilerin üzerinde çalıştığı ve yakın zamanda heyecan verici yeni bir gelişme yaşanan bir konudan bahsedeceğiz.

Bir Yüzeyi Desen Tekrar Etmeyecek Şekilde Kaplamaya İmkân Veren Şekil: “Şapka”

Afonkin_Yuriy / Stock

Gün içerisinde gittiğimiz farklı mekânlarda değişik örneklerine rastladığımız döşeme ve süslemelerden oluşan desenler ayrıca sanat eserlerinde, kumaşlarda, kâğıtlarda veya elektronik ortamda çeşitli süslemelerde de karşımıza çıkıyor. Günlük hayatta rastladığımız örneklerde genelde kare, eşkenar üçgen, altıgen gibi basit şekiller kullanılsa da daha iddialı tasarımlarda farklı şekillerin daha önce benzeri olmayan biçimde bir araya getirildiğini görebiliyoruz. Örneğin Selçuklu ve Osmanlı mimarisinde rastladığımız süslemeler bu tasarımların en ilgi çekici örneklerinden.

tekrar eden desem

Huseyin BAS / iStock

Selçuklu mimarisindeki tekrar eden desenlerden oluşan süslemeler

Yakın zamanlarda matematikçiler, tek bir şekil kullanarak bir deseni tekrarlamadan düzlemi kaplayabilen 13 kenarlı bir şekil keşfetti. Matematikçiler uzun zamandır böyle bir şekil arıyordu. Ancak ortaya matematikçiler için şaşırtıcı derecede basit bir şekil çıktı. Bu buluşun malzeme biliminden dekorasyona çeşitli alanlarda uygulamaları olabileceği düşünülüyor.

Ayrıntılara girmeden ve “Neymiş bu şekil?” sorusuna cevap vermeden önce kullandığımız terimleri açıklayalım. Çünkü matematikte tanımlar çok önemlidir.

Bu döşeme veya süslemeler yerde, duvarda veya herhangi bir düz zeminde bulunabilir. Önemli olan düz bir yüzey kullanılması ve yüzeyin tamamen kaplanmasıdır. Yani arada boşluk kalmaması gerekir. Ayrıca kaplama için kullandığımız şekiller birbirinin üzerine gelmemelidir.

Matematikçiler sonsuzu sever. Bu nedenle sınırlı bir yüzeyin kaplanmasıyla değil, bir düzlemin geometrik şekillerle kaplanması problemi ile ilgilenirler. Bu geometrik şekillere gerçek hayattaki kullanımlarından yola çıkarak “karo” diyoruz.

Kaplamalarda tek bir şekilden oluşan karolar kullanabileceğimiz gibi farklı şekillerden oluşan karo kümeleri de kullanılabiliriz.

geogebra

altıgen ve eşkenar

GeoGebra'da altıgen şeklinde karo ile yapılan kaplama

GeoGebra'da altıgen ve eşkenar dörtgen karolar ile yapılan kaplama

Günlük hayatta karşılaştığımız kaplamaları incelediğimizde, çoğunda kaplamanın bir kısmının kendini tekrar ettiğini görebiliriz. Bu tür kaplamalara “periyodik kaplamalar” diyoruz. Peki hangi şekillerle periyodik kaplama yapılabilir? Bu amaçla eşkenar üçgen, kare ve dikdörtgen kullanabiliriz. Aslında periyodik kaplamalarda tekrar eden kısımlar paralelkenarlar ile gösterilebilir. Aşağıdaki kaplama örneklerinde paralelkenarları istediğiniz gibi şekillere ayırabilirsiniz. Sonuçta elde edilen kaplama periyodik olacaktır.

  paralelkenar       

 

Kare

 

Düzgün çokgenler göz önüne alındığında, yalnızca arıların favori şekli olan altıgen karo kullandığımız zaman periyodik kaplamalar yapılabiliyor. Sadece düzgün beşgen kullanarak herhangi bir kaplama yapılamadığını da belirtelim. Bunun nedeni, beşgenin bir iç açısının 108 derece olması. Üç tane beşgeni ortak bir noktada birleştirmeye çalıştığımız zaman arada 36 derecelik bir boşluk kalıyor.

beşgen

Benzer şekilde 7 ve daha fazla kenara sahip düzgün çokgenlerde de çokgenin bir iç açısı 120 dereceden fazla olduğu için, üç tanesini ortak bir köşede birleştirmek mümkün değil. İki tanesini birleştirmeye çalıştığımızda da yine arada boşluk kalıyor. Ancak bunları farklı şekildeki karolar ile beraber kullanarak bir düzlemi kaplamak mümkün.

altıgen parke

RonFullHD / iStock

Sekizgen ve eşkenar dörtgen karolar kullanılarak yapılan bir periyodik kaplama

Periyodik kaplamalar kadar periyodik olmayan kaplamalarla da son derece ilginç desenler ortaya çıkarılabiliyor. Bu tür kaplamalar ayrıca fizikçiler ve kimyacıların kristalimsi olarak isimlendirilen malzemelerin doğasını ve davranışını anlamalarına yardımcı oluyor.

kristalimsi desen

Eric Heller / Science Photo Library

Kristalimsi malzemeler, atomların sıralandığı ancak yinelenen bir modele sahip olmadığı bir yapıya sahiptir.

Bazı şekiller farklı biçimde bir araya getirilerek hem periyodik hem periyodik olmayan kaplamalar yapılabilir. Matematikçiler sadece periyodik olmayan kaplamalar yapmak için nasıl şekiller kullanılması gerektiği üzerine uzun zamandır çalışıyorlardı.

1961'de matematikçi Hao Wang, periyodik olmayan kaplama yapılabilecek her karo kümesinin düzlemi periyodik olarak da kaplayabileceğini iddia etmişti. Ancak kendi öğrencisi Robert Berger, sadece periyodik olmayan kaplama yapılabilen 20.426 şekilden oluşan bir karo kümesi bularak bu iddiayı çürüttü. Sonra periyodik olmayan kaplama yapılabilecek karo sayısını 104’e indirdi.

1974’te Nobel ödüllü fizikçi Roger Penrose biri altılı, diğer ikisi ikili olan üç tane farklı karo kümesi buldu. Penrose bu karoları beşgen şeklinin dönel simetri özelliğini kullanarak oluşturdu. Bu yüzden bu karolara “pentapleks karolar” adı verildi.

desen

Whiteway / iStock

Pentapleks karo

O zamandan beri, matematikçiler periyodik olmayan kaplama yapılabilecek karo sayısını bire indirmeye çalışıyorlardı. Amaç sadece tek bir şekilde karo kullanarak düzlemi periyodik olmayacak biçimde kaplamaktı. Bu karoya einstein ismi takıldı. Bu isim, bildiğimiz ünlü fizikçinin adından değil, ifadenin Almanca “tek taş” anlamana gelmesinden kaynaklanıyor.

Aranan bu einstein İngiltere’nin Yorkshire bölgesinde yaşayan ve emekli bir matbaa teknisyeni olan David Smith tarafından keşfedildi. Smith, beraber çalıştığı bilgisayar bilimcisi ve matematikçi üç araştırmacı ile “şapka” ismini taktıkları şekli nasıl keşfettiklerini ve bunun olası kullanımlarını anlatan bir makale yazdı.

desen

University of Waterloo CC BY 4.0

“Şapka” adı verilen karolardan oluşan bir yüzey kaplaması

Aşağıdaki bağlantı adresinde şeklin adım adım nasıl oluşturulduğunu görebilirsiniz.

https://www.geogebra.org/m/wtv5zeyx

Kaynaklar:

  • Arık, M., Sancak, M., Pentapleks Kaplamalar, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 2007.
  • Smith, D. ve ark., “An aperiodic monotile”, arXiv, 2023.
  • https://phys.org/news/2023-03-geometric-tiled.html
  • https://www.livescience.com/newly-discovered-einstein-tile-is-a-13-sided-shape-that-solves-a-decades-old-math-problem
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling

Yazar Hakkında:

Dr. Öğr. Üyesi Yeşim İmamoğlu

Boğaziçi Üniversitesi Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Bölümü

 

Konu
Geometri
Matematik

paylaş

En Çok Okunan Makaleler

Ayın Şifrebilim Sorusu - Haziran 2023

Duyurular • 02-06-2023

Ayın Matematik Sorusu - Haziran 2023

Ayın Matematik Sorusu • 01-06-2023

Kitapları Aşırı Sevmek Bir Hastalık Olabilir mi?

Haberler • 17-12-2021

ChatGPT Nedir? Nasıl Kullanılır?

Haberler • 02-03-2023

Ayın Matematik Sorusu - Nisan 2023

Ayın Matematik Sorusu • 02-04-2023

Ayın Şifrebilim Sorusu - Nisan 2023

Duyurular • 01-04-2023

Eski ve Yeni Uluslararası Birim Sistemi

Haberler • 30-01-2019

Otonom Araçlar Çevrelerini Nasıl “Görüyor”?

Haberler • 13-09-2022

Simyadan Kimyaya: Modern Kimyanın Doğuşu

2019 Prof. Dr. Fuat Sezgin Yılı • 28-02-2019

Robot Balık SoFi

Haberler • 14-03-2019

Bilim Genç Logo
Tekrardan Hoşgeldiniz!

Bilim Genç’in kozmik derinliklerinde yolculuğa başlamak için giriş yapın.

Bir hesabınız yok mu? Üye olun

Sayfayı Paylaş
Twitter'da paylaş telegram'da paylaş Whatsapp'da paylaş facebook'da paylaş
Bağlantıyı kopyala
baylaş