Fizik-Kimya-Matematik
Doç. Dr. Fatma Aslan Tutak
18/03/2021 - 17:30

Parmak İzinin Matematiği

Bireyleri tanımlama amacıyla kullanılan fiziksel ve biyolojik ölçüm verileri biyometrik veri olarak adlandırılıyor.

Yolda karşımızdan gelen birini “gözümüz ısırdığında” beynimizde neler oluyor? Gördüğümüz yüzle ilgili verileri zihnimizde işliyor ve daha önceden belleğimize kaydedilmiş yüzler ile eşleştirmeye çalışıyoruz.

Akıllı telefonlar artık çoğunlukla parmak izi kullanılarak açılıyor. Bazı güvenlik sistemlerinde de göz irisi ya da yüz tanıma teknolojilerinden yararlanılıyor. DNA testleri ise insanlar arasındaki akrabalık ilişkilerini belirlemede en yaygın kullanılan yöntem. Bireyleri tanımlama amacıyla kullanılan fiziksel ve biyolojik ölçüm verileri biyometrik veri olarak adlandırılıyor.

Pasaport çıkarttıysanız biyometrik kelimesini fotoğraf çektirirken duymuşsunuzdur. Fotoğrafçı açık renkli bir arka zemin önünde size gülümsememenizi söyleyerek fotoğrafınızı çeker. İlk biyometrik fotoğrafımı çektirirken “Neden gülümseyemiyorum ki?” diye düşünmüştüm. Fotoğrafçı “Öyle olması lazım.” dese de ben merak etmeye devam ettim. Araştırmalarım sonucunda gülümsemediğim fotoğraf ile yüzümdeki belli ölçülerin alınarak tanımlama yapıldığını öğrendim.

Biyometrik fotoğraf eskiden kullandığımız bir terim değildi. Örneğin kimlik kartlarımızda artık biyometrik fotoğraf kullanılıyor. Biyometrik vesikalık fotoğraflar, standartları ICAO tarafından belirlenen ve makinede okunabilen kimlik kartlarında kullanılan yüksek kaliteli, belli ölçüleri ve özellikleri olan yüz biyometrisinin tespit edilebildiği fotoğraflar olarak tanımlanıyor. Yüzümüzün biyometrik verileri yalnızca Türkiye'de değil, ziyaret ettiğimiz diğer ülkelerin veri tabanlarında da 0 ve 1’lerden oluşan kodlar şeklinde kaydediliyor.

Sadece yüz tanıma değil iris tanıma, ses tanıma, DNA eşleme ve parmak izi eşleme yöntemleriyle elde edilen biyometrik veriler sayesinde de kişiler tanınabiliyor. 

Şimdi en eski ve en yaygın biyometrik veri kullanımı olan parmak izinin matematik ile nasıl anlamlandırılabileceğini tanıyalım.

Parmak İzindeki Matematik

Parmak izinin kimlik tespitinde kullanılabileceği ilk defa 1880’li yıllarda Henry Faulds ve Wiliam James Herschel tarafından keşfedildi.

Francis Galton, her insanın kendine özgü bir parmak izi olduğunu ortaya koydu. Bu sayede parmak izinin biyometrik bir bilgi olarak kullanılması mümkün oldu. Galton aynı zamanda parmak izlerinin, üzerlerinde bulunan şekil ve desenlere göre sınıflandırılabileceğini fark etti. Bu bilgiden yola çıkarak parmak izlerini en basit hâliyle üç tipte sınıflandırdı ve bunu parmak izlerinde bulunan “delta sayısı”nı baz alarak yaptı.

Parmak izinde delta kavramı, farklı yönlerdeki üç çizginin kesişimi olarak tanımlanır. Eğer parmak izinde hiç delta yoksa bu parmak izi “ark” sınıfına, bir tane delta varsa “kement” sınıfına ve iki tane delta varsa “helezon” sınıfına dâhil olur.

Siz de başparmağınızı inceleyerek parmak izinizin hangi kategoriye girdiğine karar verebilirsiniz.

İçinde değerli eşyalarınızın olduğu bir kasa hayal edin. Kasanın parmak izinizdeki delta sayısına bakılarak açılmasını tercih eder miydiniz? Ben olsam tercih etmezdim. Çünkü delta sayısı aynı olduğu için parmak izi grubu aynı olan birçok insan var. Parmak izleri kişiye özelse bu biyometrik veriyi daha güvenilir şekilde uygulayabileceğimiz başka bir sınıflandırma sistemi bulabilir miyiz? Bu aşamada matematik bize çözümler sunuyor.

Bilim insanları, parmak izlerini ayırt etmek için delta sayısının yanı sıra parmak izinde bulunan çekirdek sayısının da göz önünde bulundurulduğu daha ayrıntılı bir sınıflandırma yöntemi geliştirdi. Parmak izinde çekirdek kavramı, bir çizginin (izin) dönüş yapıp geldiği yöne doğru kesilmeden devam etmesidir. Bu, bir nevi parmak izinin çıkmaz sokağı gibi düşünülebilir. Bu yöntemde parmak izleri, sıralı ikili olarak çekirdek sayısı ve delta sayısı (Ç,D) şeklinde tanımlanıyor.

Sıralı ikili mantığı size bir yerden tanıdık gelmiş olabilir. Koordinat düzleminde de bir nokta sıralı ikili olarak tanımlanır.

Çekirdek (Ç) ve delta sayısı (D) birlikte göz önüne alınsa bile hâlâ daha ayrıntılı bir yönteme ihtiyaç var. Matematik burada da imdadımıza yetişiyor.

Üçüncü yöntemde parmak izindeki tüm olası çekirdek ile delta ikilileri hayali bir doğru parçası (L) ile birleştirilir. Ele alınan bir çekirdek-delta ikilisi için onları birleştiren L doğru parçasının kestiği (üzerinden geçtiği) parmak izi çizgisi sayılır. Örneğin bir parmak izinde bir çekirdek, iki delta varsa üç tane çekirdek-delta ikilisi oluşturulur. Bu ikilileri birleştiren doğru parçaları L1, L2 ve L3 olsun. Bu üç doğrunun kaç parmak izi çizgisini kestiği belirlenir. Daha sonra parmak izini tanımlamak için yeni bir sıralı ikili (M,m) sistemi tanımlanır: M, en çok kesişim sayısını; m, en az iz kesişim sayısını gösterir. Fakat bu yöntemi kullanabilmek için parmak izlerinde en az bir tane delta ve çekirdek bulunması gerekiyor ve bu durum her parmak izi için geçerli değil. Ayrıca bu yöntem de tüm parmak izini kullanarak bir tanımlama yapmıyor. 

Şu ana kadar incelediğimiz yöntemlerde fark ettiyseniz bir yaklaşım takip ediyoruz: 

  1. Biyometrik görsel bilgiyi matematiksel veriye dönüştür.
  2. Elde ettiğin matematiksel veriyi matematiksel yöntemleri kullanarak işle.
  3. Veri işlemenin sonucu ile biyometrik görseli anlamlandır.
  4. Sonuçları yorumla (örneğin parmak izi eşleştirmesi).

Yöntemlerin geçirdiği değişim daha birinci adımdan başlıyor ve biyometrik bilgiyi matematikleştirme süreçleri farklılaşıyor. Şu ana kadarki yöntemlerin bir ortak noktası da geometri ağırlıklı olmaları. Görsel bilgiyi, örneğin parmak izi resmini geometri ağırlıklı anlamaya çalışmamız gayet normal ama yeterli mi acaba? 

Parmak izi üzerindeki tanımladığımız noktaları haritalandırdığımızda ise aşağıdaki gibi bir sonuç ortaya çıkıyor.

IEEE Transactions on Image Processing

Bu sayede parmak izi geometrinin ötesinde modellenebilir hâle geldi. Bu tür haritalar matematiğin bir branşı olan çizge kuramı ile analiz edilir.

Ne zaman ki ağ içeren bir problem görsem aklıma çizge kuramı gelir. Çizge kuramı ile ilgili daha ayrıntılı bilgiye Çizge Kuramı ile Biyometrik Veriyi Nasıl İşleyebiliriz? yazımızdan ulaşabilirsiniz.

Çizge Kuramı ile Parmak İzi ve Yüz Tanıma

Biyometrik veriyi güvenilir bir şekilde işlemek için geliştirilen yöntemlerden biri, parmak izini çizgeye dönüştürerek eşleme yapmak. Bunun için her bireyin parmak izi için özel bir çizge oluşturulması gerekiyor. Bilgisayar teknolojisindeki hız ve hesaplama tutarlılığından faydalanarak, polisiye dizilerde gördüğümüz gibi kimliği belli olmayan bir parmak izini veri tabanındaki diğer parmak izleri ile kısa sürede karşılaştırarak kime ait olduğunu belirleyebiliriz. Bu da aslında parmak izinin çizgeye dönüştürüldükten sonra verileri 0 ve 1’lerden oluşan kodlar şeklinde saklayabildiğimiz anlamına gelir. Bunun için de matematiğin lineer cebir alanına başvurulur. 

Usta bir gözlemci ve problem çözücü olan insan, bu ustalığını matematikleştirme süreçlerinde de kullanıyor. Bu sayede yeni problemler oluşturuyor ve bu problemlere çözümler geliştiriyor.

Biyometrik verilerin kullanılması ile ilgili uygulamalar inanılmaz bir hızda gelişim gösteriyor. Günümüzde parmak izi ve yüz tanıma teknolojileri cep telefonlarında yaygın olarak kullanılıyor. DNA eşleştirmeleri de adli incelemelerde ve akrabalık ilişkilerinin tespit edilmesinde sıkça yararlanılan bir yöntem. Ancak bu teknolojilerin güvenilirliği sorgulanıyor. Örneğin Ocak 2020’de ABD’nin Detroit şehrinde yaşayan Robert Williams isimli bir kişi yüz tanıma programı kullanılarak hatalı bir şekilde tutuklandı.

Ayrıca bu konunun sosyal bir boyutu var: Biyometrik verilerimiz kimler tarafından kullanılıyor, saklanıyor ve kimlerle paylaşılıyor? Örneğin sokakta yürürken yüz tanıma programı ile mutlu mu, üzgün mü, kaygılı mı, kızgın mı olduğunuzun anlaşılmasını ve bu bilginin çeşitli amaçlar için kullanılmasını ister miydiniz?

Okuma Önerileri:

Yazar Hakkında:

Doç. Dr. Fatma Aslan Tutak
Boğaziçi Üniversitesi Matematik Eğitimi Bölümü Öğretim Üyesi

 

Fizik-Kimya-Matematik

Denklemin meşhuru mu olur demeyin, bazen çok basit gibi görünen bir eşitliğin etkisi çok büyük veya ve uygulama alanları çok geniş olabilir. Meşhur denklemlere geçmeden önce denklem” kavramı üzerinde duralım.

Bu yazıda Dünya’nın kendi ekseni etrafındaki dönüşü sonucunda oluşan, kendisi zayıf olsa da büyük ölçekli atmosfer hareketlerine yol açan Coriolis kuvvetini ve nasıl ortaya çıktığını anlamaya çalışacağız.