Ayın Matematik Sorusunu Doğru Çözenler – Kasım 2023

Cevap: 11

İlk önce 10 rengin yeterli olmadığını gösterelim. Bunun için 2ⁿ ≤ M < 2ⁿ⁺¹ ise

1, 2, ... , M sayıları için gereken renk sayısının en az  n+1 olduğunu göstereceğiz. n üzerinden tümevarım yapalım. n =0, 1 durumları açıktır. İddiamız n - 1 için doğru olsun. [a,b] = [1,M] alırsak bir t sayısının tüm sayılardan farklı renge boyandığını görürüz. [1,t-1] ve [t+1,M] aralıklarından biri en az 2^n-1 uzunluğunda olacaktır. Bu aralık için tümevarım varsayımına göre gereken renk sayısı en az n’dir. Buna göre, t sayısının rengi ile birlikte gereken renk sayısı en az n+1 olur. 2¹⁰ ≤ 2023 ≤ 2¹¹ olduğuna göre, M = 2023 durumunda en az 11 renk gerekir.

Şimdi de 11 rengin yeterli olduğunu göstereceğiz. Kullanacağımız 11 rengi 1, 2, ... , 11 sayılarıyla işaretleyelim. s sayısı 2^k sayısına bölünüp 2^k+1 sayısına bölünmüyorsa, s sayısını k rengine boyayalım ve bu boyamanın koşulları sağladığını gösterelim.  Herhangi [a,b] aralığında kullanılan renklerden en büyüğü t olsun. t rengine boyanmış bu sayı  2^t (2l+1) şeklindedir. Aynı t rengine boyalı başka bir sayı da varsa bu sayı  2^t (2m+1) şeklindedir. Fakat bu durumda bu iki sayının arasında bir 2^t+1 sayısı  vardır ve t+1 rengine boyalıdır. Bu bir çelişkidir. Sonuç olarak her aralıkta en büyük renge boyalı tek bir sayı vardır ve böylece koşullar sağlanmış olur.

Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitabı kazandı. Hediye kazanan okurlarımızın isimleri aşağıdaki listede koyu renk ile belirtildi.

• Metehan Çalışkan
• Yiğit Civan
• Osman Menteş
• Ergin Bulut
• Mümtaz Ulaş Keskin
• Yüsra Nur Parlak
• Yavuz Kerem Cüce
• Sezen Soydemir
• Burak Eriz Tasabak
• Bayram Bala
• Onur Efe Uçar

Bilim Genç Ayın Matematik Sorusu köşesini Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü'nden Prof. Dr. Azer Kerimov hazırlıyor.