En Büyük Sayı Kaçtır?

Matematikte en büyük sayıyı ifade etmek için sonsuz terimi kullanılır ve bu sayı ∞ sembolüyle gösterilir. Her ne kadar sonsuz, matematiksel işlemler sırasında -örneğin limit hesaplarında- sıradan bir sayıymış gibi işlem görse de herhangi bir sayı kümesinin -örneğin reel sayıların ya da tam sayıların- elemanı değildir. Ancak şunu da belirtelim ki iki değerin ayrı ayrı sonsuza eşit olması birbirlerine de eşit oldukları anlamına gelmez. Bazı sonsuzluklar sayılabilir iken bazılarıysa sayılamazdır ve sayılamayan sonsuzluklar sayılabilen sonsuzluklardan daha büyüktür.

Asal sayıları (kendisinden ve 1'den başka böleni olamayan 1'den büyük tam sayılar) ele alalım. Bu sayılar ile sayma sayıları (1, 2, 3, 4, ...) arasında bire bir eşleştirme yapmak mümkündür. Örneğin asal sayıları en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak şu şekilde sayabiliriz:

1→2

2→3

3→5

4→7

5→11

6→13

Görüldüğü gibi sonsuz sayıda asal sayı olsa da bu sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleştirme bulmak mümkündür. Dolayısıyla bu durumda sayılabilir bir sonsuzlukla karşı karşıyayız. Benzer biçimde doğal sayılar (0, 1, 2, 3, ...) ve tam sayılar (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) ile sayma sayıları arasında bire bir eşleştirmeler bulmak da mümkündür.

Reel sayıları ele aldığımız zamansa sayılamayan bir sonsuzlukla karşılaşırız. Esasen herhangi bir aralıkta -örneğin 1 ile 2 arasında veya 2,5 ile 3,7 arasında- bile tüm doğal sayılardan ya da tüm tam sayılardan daha fazla reel sayı vardır. Bu durumu (reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleşme yapılamayacağını) “olmayana ergi” yöntemiyle ispatlayabiliriz. 1 ile 2 arasındaki reel sayıları ele alalım ve bu aralıktaki reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleşme olduğunu varsayalım. Örneğin eşleştirmeleri içeren listedeki sayılardan bazıları şunlar olabilir: 1,0027539862, 1,30476296, 1,80746329, ... Şimdi de şu algoritmaya bağlı kalarak bir sayı yazmaya başlayalım: Sayımızın virgülden sonraki birinci basamağı, eşleştirmedeki ilk sayının virgülden sonraki birinci basamağından farklı olmak üzere herhangi bir rakam olsun. Örneğin listedeki ilk sayının virgülden sonraki birinci basamağı 3 ise biz sayımızın virgülden sonraki ilk basamağındaki rakamı 5, 7 ya da 8 olarak seçebiliriz. Daha sonra sayımızın virgülden sonraki ikinci basamağı listedeki ikinci sayının virgülden sonraki ikinci basamağından, virgülden sonraki üçüncü basamağı listedeki üçüncü sayının virgülden sonraki üçüncü basamağından farklı olacak şekilde rastgele rakamlar seçerek sayıyı oluşturmaya devam edelim. Sonuç olarak elde edeceğimiz sayının başlangıçta tüm reel sayıları içerdiğini varsaydığımız listede olmayacağı açıktır. Çünkü elde ettiğimiz sayının virgülden sonraki birinci basamağı listedeki ilk sayının virgülden sonraki birinci basamağından farklı olduğuna göre listedeki ilk sayıya eşit olamaz. Benzer biçimde virgülden sonraki ikinci basamağı listedeki ikinci sayının virgülden sonraki ikinci basamağından farklı olduğu için ikinci sayıya da eşit olamaz. Genel olarak elde ettiğimiz sayının virgülden sonraki  n. basamağı listedeki n. sayının virgülden sonraki n. basamağından farklı olduğu için bu sayı listedeki tüm sayılardan farklıdır. Başlangıçta 1 ile 2 arasındaki reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleştirme olduğunu varsaymıştık. Ancak çok basit bir algoritma kullanarak listede olmayan bir reel sayı bulmayı başardık. Bu durum başlangıçta yaptığımız varsayımın yanlış olduğunu, yani 1 ile 2 arasındaki reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleşme yapılamayacağını gösterir. Dolayısıyla 1 ile 2 arasında tüm sayma sayılarından, tüm doğal sayılardan ya da tüm tam sayılardan çok daha fazla reel sayı vardır. Benzer bir ispatı başka aralıklardaki reel sayılar için de yapmak mümkün olduğundan, yaptığımız çıkarım herhangi bir aralıktaki reel sayılar ve dolayısıyla tüm reel sayılar için de geçerlidir. Kısacası reel sayılar kümesi sayma sayıları, doğal sayılar ya da tam sayılar kümesinden çok daha büyüktür.