Mükemmel Sayı Nedir?

Mükemmel sayıların birkaçı

Örneğin 6 sayısını ele alalım: 1, 2, 3 ve 6 bu sayının bölenleridir ve tüm bu bölenlerin toplamı, yani 1+2+3+6, sayının iki katı olan 12’ye eşittir. Bu yüzden 6 ilk mükemmel sayıdır. Aynı şekilde 28 de mükemmel bir sayıdır çünkü bölenleri toplamı, yani 1+2+4+7+14+28, sayının iki katı olan 56’ya eşittir. Bunlardan başka 496 ve 8128 de mükemmel sayılardandır. Bu sayıların mükemmel sayı olduğunu, bölenlerini toplayarak kendiniz de görebilirsiniz.

Mükemmel sayıların tarihi MÖ 500’e kadar uzanıyor. Pisagor o dönemde mükemmel sayıların farkındaydı ancak bu sayıları üretmek için gereken formül MÖ 300’lü yıllarda Öklid tarafından geliştirildi. Formülün ispatı ise bundan tam 2000 yıl sonra Euler tarafından gerçekleştirildi. Euler, teoremdeki formülün tüm mükemmel çift sayıları üreteceğini ispatladı. İspat günümüzde Öklid-Euler teoremi olarak biliniyor.

Öklid-Euler teoreminde asal sayılar büyük önem taşıyor.

asal_sayilar_mukenmmel_sayi.jpg

Kendisinden ve 1’den başka pozitif böleni olmayan 2 ve 2’den büyük sayılara asal sayı denir. Asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … şeklinde devam eden sayılardır.

Öklid-Euler teoremine göre eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise 2^(p-1) x (2^p-1) sayısı mükemmel çift bir sayı verir.

mukemmel_sayilar_2.jpg

Mükemmel sayılar kümesinin sonlu olup olmadığı veya tek sayı içerip içermediği henüz bilinmiyor. Fakat, şu ana kadar bilinen 51 mükemmel sayının hepsi çift sayıdır ve son rakamları 6 veya 8’dir.

Kaynaklar:

• https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/perfelem.pdf
• https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/
• https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_perfect_numbers