Bilinen İlk İrrasyonel Sayı Olan Karekök İki Sayısı Nasıl Keşfedildi?

Matematikle ilgili yeni bir video ile karşınızdayız! Bu videoda bilinen ilk irrasyonel sayı olan karekök iki sayısının nasıl keşfedildiğini anlatıyoruz.

Eski çağlarda insanlar avladıkları veya sürülerinde bulunan hayvanların sayısını belirlemek için sayılara ihtiyaç duyarlardı. Bu ihtiyaçlarını mağara duvarlarına çizgi çekerek veya ipe düğüm atarak karşıladılar. İlerleyen süreçte önce sayılar keşfedildi. Daha sonra ise belirli miktarları daha küçük parçalara bölmek için kullanılan kesirler yani rasyonel sayılar ortaya çıktı. Milattan önce beşinci yüzyılda yaşayan Antik Yunan filozofu Pisagor ve arkadaşları, tüm sayıları sayma sayıları veya iki sayının birbirine oranı olarak düşünüyorlardı. Yani tüm sayıları rasyonel sayılardan ibaret sanıyorlardı. Pisagor’un en iyi bilinen önermesi ise derslerden hatırlayacağınız üzere kendi adıyla anılan Pisagor teoremidir. 

Pisagor teoremine göre bir dik üçgenin hipotenüsü, daima dik açının karşısındaki kenardır. Dik kenar uzunluklarının karelerinin toplamı ise hipotenüsün karesine eşittir. 

Fakat Pisagor’un öğrencisi Hippasus, kenar uzunlukları 1 birim olan bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun birim olduğunu ve bu sayının rasyonel bir sayı olmadığını iddia etti. Peki Hippasus bunu neye dayanarak söylemişti?

Eğersayısı rasyonel bir sayı ise   şeklinde yazılır. Burada p ve q sayıları tam sayıdır ve aralarında asaldır. Yani, ortak bölenleri sadece 1’dir. Eğer ortak bölenleri birden farklı ise sadeleştirilebilirler.

Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa p²=2q² olur. Bu durumda p sayısı her zaman çift sayı olmak zorundadır.

Herhangi bir k tam sayısı için çift p sayısı, p=2k şeklinde yazılır. Eşitlikte p yerine 2k yazılırsa, (2k)²=2q² ⇒ 4k²=2q² ⇒ 2k²=q² eşitlikleri elde edilir.

O hâlde q tam sayısının da çift sayı olması gerekir. Başlangıçta p ve q tam sayılarının aralarında asal olduğunu kabul etmiştik. Fakat çift sayılar aralarında asal olamazlar. Bu durumda’nin rasyonel bir sayı olduğu varsayımı yanlıştır. Tam tersinesayısı irrasyonel bir sayıdır. aynı zamanda tarihteki ilk irrasyonel sayı olma özelliğini taşır. Biz de bu nedenle videomuzun konusu olarak sayısını seçtik.