Türünün Tek Örneği Üçgen Çifti

1. Üçgenlerin biri dik üçgen, diğeriyse ikizkenar üçgen olacak,

2. Her iki üçgenin de tüm kenar uzunlukları rasyonel sayılar olacak,

3. Üçgenlerin çevre uzunlukları ve alanları eşit olacak.

 

Bu özelliklere sahip bir üçgen çifti var: kenar uzunlukları sırasıyla 135, 352, 377 birim olan dik üçgen ve kenar uzunlukları sırasıyla 132, 366, 366 birim olan ikizkenar üçgen. Kenar uzunluklarını topladığımızda her iki üçgenin çevre uzunluğunun da 864 birim olduğunu görürüz. Kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını, Heron formülünü kullanarak hesaplayabiliriz. Heron formülü, kenar uzunlukları a, b, c ve çevre uzunluğu 2s olan bir üçgenin alanının A=√s(s-a)(s-b)(s-c) olduğunu söyler. Bizim örneğimizde üçgenlerin çevre uzunluğu 864 birim olduğundan s=432 birimdir. Üçgenlerin alanını Heron formülünü kullanarak hesapladığımızda her iki üçgenin alanının da 23.760 birim kare olduğunu buluruz. Üçgenlerin kenar uzunlukları da rasyonel sayı olduğuna göre bu üçgen çifti istenen tüm kriterleri sağlar.

Üçgen çiftiyle ilgili ilginç olan nokta, uzunlukları ölçmekte kullanılan birimin keyfiliği göz ardı edildiğinde, bu kriterleri sağlayan tek üçgen çifti olması. Bu durum yakın zamanlarda Yoshinosuke Hirakawa ve Hideki Matsumura adlı iki matematikçi tarafından ispatlandı.

Araştırmacılar ispatı yaparken matematiğin cebirsel geometri adı verilen dalından yararlanmışlar. Cebirsel geometrinin genel olarak geometriyle ilgili sorulara ait denklemlerin çözümüne odaklandığı söylenebilir. Cebirsel geometrideki temel sorulardan biri çok değişkenli polinomların köklerinin (polinomun değerini sıfır yapan sayıların) olup olmadığının bulunması ve eğer polinomun kökleri varsa kaç farklı çözüm olduğunun tespit edilmesidir. Araştırmacıların yayımladığı makalede de istenen kriterleri sağlayan tek bir çözüm olduğu cebirsel geometri kullanılarak ispatlanıyor. Detaylara, araştırmacıların arXiv’e yüklediği makaleden ulaşabilirsiniz.