Mutlu, Mutsuz ve Narsistik Sayılar

Tamara Luiza/iStockphoto.com

Bir sayı, bir dizi matematiksel işlemden sonra 1’e ulaşıyorsa o sayı mutlu olarak adlandırılır. Burada her adımda gerçekleştirilen işlem, sayıyı oluşturan rakamların karesini almak ve toplamaktır. Elde edilen sayı 1 değilse işleme 1 sayısı elde edilene kadar devam edilir. Örneğin 19 sayısı mutlu bir sayıdır çünkü 1²+9²=82, 8²+2²=68, 6²+8²=100, 1²+0²+0²=1. Yani 19 sayısına uygulanan dört işlemden sonra 1 sayısına ulaşılır.

İlk yüz sayı içerisindeki mutlu sayılar 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100 şeklinde sıralanır.  Mutlu sayılar kümesinde asal sayılar da bulunur. Böyle sayılara ise mutlu asal sayılar denir. Mutlu asal sayılar, TARDIS adlı bir zaman makinesi ile uzay ve zamanda yolculuk yapabilen bir kahramanın maceralarının anlatıldığı, Doctor Who isimli bir bilim kurgu dizisine de konu olmuştur. Dizinin bir bölümünde, açılması gereken bir kapının şifresi olarak 313, 331, 367 sayılarından sonra gelen sayının ne olduğu sorulur. Karakterlerden biri, bu sayıların mutlu asal sayılar olduğunu ve bu sayılardan sonra gelecek sayının 379 sayısı olduğunu bilir.

Mutlu olmayan bir sayıya ise mutsuz sayı denir. Bu sayılar, yukarıdaki işlemin defalarca uygulanmasına rağmen sonucu hiçbir zaman 1’e ulaşmayan sayılardır. Örneğin 3 sayısı, mutsuz bir sayıdır çünkü 3 sayısının karesi alınıp toplandığında ve bu şekilde işlem yinelendiğinde yani elde edilen tüm sayıların rakamlarının kareleri toplamı bir döngü şeklinde devam eder.

Ele alınan herhangi bir sayı yukarıdaki hesaplamalar sonucu 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, … şeklinde devam eden bir döngüye giriyorsa o sayıya mutsuz sayı denir. Ayrıca tek basamaklı mutlu sayıların 1 ve 7 olduğunu daha önce belirtmiştik. Bu durumda hesaplamalar sonucunda herhangi bir adımda elde edilen tek basamaklı sayı 1 veya 7 değilse ele alınan ilk sayı mutsuz bir sayıdır.

Toplama işlemi tam sayılar kümesinde değişmeli bir işlem olduğundan mutlu/mutsuz sayıların rakamlarının yer değiştirmesiyle oluşturulacak her bir yeni sayı da yine mutlu/mutsuz sayı olur. Mutlu bir sayının herhangi bir yerine eklenecek sıfır ile oluşacak yeni sayı da yine bir mutlu sayıdır. Aynı şekilde mutlu bir sayının herhangi bir basamağından silinecek sıfır da oluşacak yeni sayının mutlu sayı olmasının önünde engel değildir.  Sonsuz tane mutlu ve mutsuz sayı vardır.

Mutlu sayılar ve mutsuz sayılar dışında ilginç bir sayı kümesi daha vardır. Narsistik sayılar olarak adlandırılan bu kümedeki her n basamaklı sayının, basamaklarındaki rakamların n. kuvvetleri toplamı sayının kendisine eşittir. Örneğin üç basamaklı 153 sayısı narsistik bir sayıdır çünkü 1³ +5³ + 3³=153’tür. Bu sayılara narsistik sayı denmesinin sebebi kendilerinden başka sayıları istememeleridir. 0 ve ilk dokuz rakamın tümünün narsistik sayı olduğu kolayca görülebilir. Bunlardan hariç narsistik sayılar 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, … şeklinde sıralanır. Narsistik sayılar Armstrong sayıları olarak da bilinir.

Kaynaklar:

• https://mathworld.wolfram.com/HappyNumber.html#:~:text=The%20first%20few%20happy%20numbers,invariant%20sequences%20have%20period%201.
• https://mayuravaani.medium.com/happy-numbers-unhappy-numbers-prime-numbers-with-programming-d9b3fd242ad9#:~:text=Unhappy%20number%20is%20a%20number,%2C4%2C37%2C
• https://mathworld.wolfram.com/NarcissisticNumber.html#:~:text=%3A%20%2C%20%2C%20%2C%20and-,.,164).
• https://www.geeksforgeeks.org/program-for-armstrong-numbers/