Negatif Sayılar Neden Var?
“2 ile toplandığında 1’i veren sayı nedir?” sorusunun cevabı ile 2+x=1 denkleminin çözüm kümesi aynıdır. Bu denklemin çözümü için ihtiyaç duyduğumuz sayı ise negatif bir sayıdır. Peki negatif sayıların matematikteki önemi nedir?
Negatif sayılar günlük hayatta birçok yerde kullanılır. Örneğin 0 oC’nin altındaki hava sıcaklıkları ve deniz seviyesinin altındaki coğrafi konumlar negatif sayılarla ifade edilir.
Bankacılık sisteminde borç miktarı da yine negatif olarak gösterilir. Negatif sayıların matematikteki kullanımı ise daha soyut kavramlara dayanır. Bu kavramları öğrenmeden önce gelin birlikte negatif sayıların tarihine kısaca bakalım.
Negatif Sayıların Tarihi
Negatif sayılar ilk olarak MÖ 200 yılında Çinliler tarafından ticari hesaplamalarda kullanıldı. Hesaplamalarda, satılan bir ürün -karşılığında para alındığından dolayı- pozitif olarak, satın almak için harcanan miktar ise negatif olarak gösterildi. Değerin pozitif veya negatif oluşu günümüzdeki gibi sol tarafına artı (+) veya eksi (-) işareti konularak değil kırmızı ve siyah renklerde yazılarak belirtildi. MS 620 yılında negatif sayıların Hintli matematikçi Brahmagupta tarafından da kullanıldığı biliniyor. Brahmagupta, çalışmalarında pozitif ve negatif sayılar için servet ve borç kavramını kullandı. Ancak negatif sayıların matematikçiler tarafından benimsenmesi ve kullanılmaya başlanması epey zaman aldı. Örneğin MS 3. yüzyılda Yunan matematikçi Diophantus, 4x+20=0 gibi bir denklemi, negatif çözümü olduğundan dolayı “saçma” olarak nitelendirmişti.
Biz de bu yazımızda negatif sayıların matematiğin bir alt dalı olan cebirdeki kullanımına değineceğiz. Bunun için negatif sayıların bir alt kümesi olan negatif tam sayıları inceleyecek ve bu kümenin nasıl elde edildiğini öğreneceğiz. Bunun için önce sıfır (0) tam sayısını ele alalım. Herhangi bir n tam sayısı ile toplandığında yine aynı n tam sayısını veren elemana toplamanın birim elemanı yani sıfır denir ve 0 ile gösterilir. Peki hangi tam sayı n tam sayısı ile toplandığında 0’ı verir?
Bu sayı n tam sayısının tersidir ve -n ile gösterilir. Yani n+ (-n)= (-n)+n =0’dır. Pozitif her tam sayının toplama işlemine göre tersi bulunduğunda tüm negatif tam sayılar elde edilmiş olur.
Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfır (0) birlikte tam sayılar kümesini (Z) oluşturur. Tam sayılar kümesi ise toplama işlemiyle birlikte cebirde “grup” adı verilen ikili yapıyı (Z,+) oluşturur. Bu yapı, aşağıda tanımlanan özellikleri sağlar.
1. Kapalılık özelliği: Her a,b ∈ Z için a+b ∈ Z.
2. Birleşme özelliği: Her a,b,c ∈ Z için (a+b)+c=a+(b+c).
3. Birim elemanın varlığı: Her a ∈ Z için a+0=0+a=a eşitliklerini sağlayan 0 ∈ Z vardır.
4. Ters elemanın varlığı: Her a ∈ Z için a+(-a)= (-a)+a=0 olacak şekilde -a∈ Z vardır.
Şimdi yazımızın başında ele aldığımız 2+x=1 denklemini yukarıda belirttiğimiz bilgiler ışığında çözelim. Bu denklemi çözmek için öncelikle 2=1+1’den hareket edelim. Bu durumda denklemimizi 1+1+x=1 olarak yazabiliriz. Şimdi eşitliğin her iki tarafına 1 sayısının toplama işlemine göre tersi olan -1’i ekleyelim. Bu işlem sonucunda denklemimiz -1+1+1+x=-1+1 hâlini alır. Böylece 0+1+x=0 yani 1+x=0’ı elde ederiz. Son denklem aslında ‘’1 sayısının toplama işlemine göre tersi nedir?’’ sorusuna eş değerdir. Bu sorunun cevabı ise -1’dir. Yani x=-1 elde edilir.
Tam sayılar kümesinin toplama işlemiyle birlikte bir grup oluşturması eski zamanlarda çözümü imkânsız gibi görünen bazı denklemlerin çözülmesini sağlar. Çünkü negatif tam sayıların varlığı (Z,+) ikilisinin grup oluşturmasına imkân verir. Ancak tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanacak bir çarpma işlemi grubun oluşmasına imkân vermez. Çünkü (Z,.) ikilisinde her elemanın tersi yoktur. Örneğin 3 tam sayısının çarpmaya göre tersi olan 1/3 sayısı bir tam sayı değildir. Bu nedenle 3x+7=1 gibi bir denklemin çözümü için farklı bir cebirsel yapıya ihtiyaç vardır. Bu yapının ne olduğunu ise bir sonraki yazımızda ele alacağız.
Kaynaklar:
