Mantık Bulmacası: 100 Şapka Sorusu

Çizim: Umut Aybek

Geçtiğimiz günlerde yayınladığımız “Kırmızı Şapka mı, Mavi Şapka mı?” isimli mantık bulmacasına benzeyen bu bulmacada, bir okuldaki 100 öğrenci cevabın ya kırmızı şapka ya da mavi şapka olacağı soruya doğru cevap vererek sınavdan muaf tutulabilirler. Her bir öğrencinin %50 olasılık ile sınavdan muaf olabileceği bu oyunun detayları şöyle:

Öğretmen 100 öğrenciyi önlü-arkalı şekilde tek sıra hâlinde diziyor. Gözleri bağlanan öğrencilere rastgele bir şekilde kırmızı ya da mavi şapkalar takılıyor ve daha sonra öğrencilerin gözleri açılıyor. Sıranın en arkasındaki öğrenci kendisinin ne renk şapka taktığını göremezken, önündeki 99 öğrencinin taktığı şapkanın rengini görebiliyor. Benzer şekilde 50. sıradaki öğrenci kendisine takılan şapkanın rengini bilmiyor ama önündeki 49 öğrencinin hangi renk şapka taktığını görebiliyor. En ön sıradaki öğrenci ise duvardan başka bir şey göremiyor. Ayrıca öğrenciler kırmızı ve mavi şapkalardan toplamda kaçar adet olduğunu da bilmiyorlar. Örneğin şapkalardan ellişer adet olabileceği gibi toplamları 100 olan herhangi iki sayıda kırmızı ve mavi şapka da olabilir.

Oyun başlamadan öğrenciler kendi aralarında konuşuyor ve en çok kişinin sınavdan muaf olabilmesi için bir plan yapıyorlar. Peki sizce öğrenciler bu oyunda en fazla sayıda kişinin sınavdan muaf olmasını nasıl sağlayabilirler?

Eğer yeteri kadar düşündüyseniz gelelim en fazla sayıda öğrenciyi sınav olmaktan kurtaracak plana.

Öğretmenin soracağı “Şapkan ne renk?” sorusuna cevap verecek en arkadaki öğrenci, önünde bulunan ve kırmızı şapka takan kişilerin sayısını hesaplar ve bu sayı tek bir sayı ise soruya “kırmızı” şeklinde cevap verir. Fakat önündeki kırmızı şapka takan kişi sayısı çift ise o zaman soruyu “mavi” şeklinde cevaplar. 

Örneğin bu oyunun 5 kişi ile oynandığını ve öğrencilerin taktığı şapkaların görseldeki gibi olduğunu düşünelim.

Çizim: Umut Aybek

1. öğrenci, önündeki kişilerden ikisinin kırmızı şapka taktığını gördüğü için soruya “mavi” şeklinde cevap verir. Bu cevabı yanlış olduğu için de sınava girmek durumunda kalır. Ancak 1. öğrencinin verdiği bu cevap diğer öğrencilere avantaj sağlar. Nasıl mı?

İlk öğrencinin cevabından sonra artık 2. sıradaki öğrenci, kendi şapkası da dâhil olmak üzere toplamda çift sayıda kırmızı şapka olduğunu bilir. Bu durumda önündeki kırmızı şapkaların sayısına bakar ve cevabını buna göre verir. 2. sıradaki öğrenci önünde çift sayıda kırmızı şapka gördüğü için kendi şapkasının mavi renkte olduğunu anlar. Eğer kendisi de kırmızı şapka takıyor olsaydı, bu durumda 1. öğrenci tek sayıda kırmızı şapka göreceği için soruya “kırmızı” şeklinde cevap vermesi gerekirdi. Yani 2. öğrenci taktığı şapkanın rengini doğru bilir ve sınavdan muaf olur.

3. öğrenci, soruya 1. öğrencinin yanlış cevap verdiğini ve 2. öğrencinin doğru cevap verdiğini biliyor. Bu durumda 3. öğrenci, 1. ve 2. öğrencilerin cevabıyla sırada kendi şapkası da dâhil olmak üzere toplamda çift sayıda kırmızı şapka olduğunu bilir. Kendi önünde ise bir adet (tek sayıda) kırmızı şapka gördüğü için kendi şapkasının kırmızı renkte olması gerektiğini anlar ve öğretmenin sorusuna “kırmızı” şeklinde cevap vererek sınavdan muaf olur.

4. öğrenci ise ilk üç öğrencinin cevabından sonra artık sırada kendi şapkası da dâhil olmak üzere tek sayıda kırmızı şapka olması gerektiğini bilir. Çünkü ilk öğrenci sırada çift sayıda kırmızı şapka olduğunu söylemişti. Daha sonra 2. ve 3. öğrenciler sırasıyla şapka renklerinin mavi ve kırmızı olduğunu bildiler. Bu durumda geriye tek sayıda kırmızı şapka kaldı. 4. öğrenci önündeki kişinin taktığı şapkanın rengine bakar ve bu şapka mavi renkte olduğu için son kalan kırmızı şapkanın kendi şapkası olması gerektiğini anlayarak soruya “kırmızı” şeklinde cevap verir.

Son kalan 5. öğrenci başta kırmızı şapka sayısının çift olduğunu ve iki kişinin “kırmızı” cevabıyla sınavdan muaf olduğunu öğrendiğinde kendi şapka renginin mavi olduğunu anlar. Çünkü eğer kendisi de kırmızı şapka takıyor olsaydı, sırada toplam üç adet yani tek sayıda kırmızı şapka bulunurdu.

Görüldüğü gibi 5 kişi ile oynanan bu oyunda, ilk öğrencinin soruya verdiği cevapla diğer öğrenciler sınavdan muaf olabiliyor. İlk öğrenci ise yanlış cevap verdiği için sınava girmek zorunda kalıyor. Kendisi hariç diğer öğrencilerin sınavdan muaf olabilmesi sağlayan ilk öğrencinin ise soruya doğru cevap verme olasılığı %50’dir.

Bu durumu 100 kişiye de genelleyebiliriz. Aynı şekilde ilk öğrenci önündeki 99 kişinin taktığı kırmızı şapka sayısını hesaplar ve bu sayı tek ise “kırmızı”, değilse “mavi” şeklinde cevap verir. Buna göre diğer tüm öğrenciler önlerindeki kırmızı şapka sayısını hesaplayarak ve kendilerinden önce verilen cevapları değerlendirerek hangi renk şapka taktıklarını bilebilirler. Böylece 100 kişi ile oynanan oyun, 5 kişi ile oynanan oyunla aynı sonucu verir.

“Şapkan ne renk?” sorusuna ilk öğrenci %50 olasılıkla, diğer 99 öğrenci ise %100 kesinlikle doğru cevap verir. 99 öğrencinin sınava girmekten kurtulabileceği, bir öğrencinin ise %50 olasılıkla sınava katılacağı bu plan, en çok sayıda öğrencinin sınavdan muaf olmasını sağlayan plandır.

Kaynaklar:

• https://www.popularmechanics.com/science/math/a25254/riddle-of-the-week-16/
• https://www.independent.co.uk/news/science/can-you-solve-the-100-hat-riddle-set-by-google-in-job-interviews-a6886326.html